LeetCode 1049 最后一块石头的重量II

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y 。那么粉碎的可能结果如下：

如果 x == y ，那么两块石头都会被完全粉碎；
如果 x != y ，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x 。

最后，最多只会剩下一块石头。返回此石头最小的可能重量。如果没有石头剩下，就返回0。

示例：

输入：stones = [2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。

动态规划

此处的题设中，对于石头选取的要求是任意选取，但是要求返回的内容是最后剩余石头的最小可能重量，本质上还是在求解问题的最优解。

重点还是在于问题的划分。首先，需要对问题进行转换，将上述问题转化为：将石头分为重量作为接近的两堆，那么最后剩余的最小石头重量就是两堆石头重点之间的差值，并且对于两堆石头的数量没有任何要求。

假设第一堆石头为：第二堆石头为，那么首先 $和$ 做相减，若是消去后将剩余的元素加入到石堆中，那么下一次就在中选择和的值进行消去。反之，则在中进行选择。相等则同时消去两个。交替进行，最后两堆只会剩下一个或零个的元素。

动态规划数据的定义：首先计算总体的石头的重量 sum ，然后令 n=sum//2 ，定义动态规划数组 dp[n] 表示容量为 n 的背包能否恰好装满，初始时仅在元素 0 中选取。
\
动态规划数组的推导：在第 i 次迭代中，从元素 0-i 中选取，向背包中添加石头。那么 dp[j]=dp[j]||dp[j-stones[i]] if j>=stones[i] else dp[j]
动态规划数组的初始化：首先全部初始化为 false ，当背包容量为0时，本身就是装满的状态： dp[0]=true ，若是 n>=stones[0] 那么 dp[stones[0]]=true
数组的便利顺序：外层循环，对石头进行遍历， i=1,...,stones.size()-1 ，内层循环对背包进行遍历， j=n,...,stones[i] ，在完成迭代后，再对 dp[n] 从后向前遍历寻找第一个为 true 的元素 dp[k] ，那么那么最终的结果为 sum-2k 。
举例验证： stones = [2,7,4,1,8,1]

初始的动态规划数组：[1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0]
逐次迭代的动态规划数组：
[1,0,1,0,0,0,0,1,0,1,0,0]
[1,0,1,0,1,0,1,1,0,1,0,1]
[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]
[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]
[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]
最终的输出为0

代码实现：

class Solution {
public:
    int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
        if(stones.size()==1) return stones.front();
        int sum=0;
        for(auto a:stones) sum+=a;
        vector<bool> dp(sum/2+1,false);
        dp[0]=true;
        if(stones[0]<=sum/2) dp[stones[0]]=true;
        for(int i=1;i<stones.size();i++){
            for(int  j=dp.size()-1;j>=stones[i];j--){
                dp[j]=dp[j]||dp[j-stones[i]];
            }
        }
        int i;
        for(i=dp.size()-1;!dp[i];i--);
        return sum-(2*i);
    }
};

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