LeetCode 309 最佳买卖股票时机含冷冻期

给定一个整数数组prices，其中第 prices[i] 表示第 i 天的股票价格。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例：

输入: prices = [1,2,3,0,2]
输出: 3
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

动态规划

要使用动态规划对本题进行求解，重点依旧是动态规划数组的定义。对于股票买卖的次数是不做限制的，对于股票的状态也仅有两种状态，持有或不持有，但是对于卖出股票后，需要限制在后一天买入股票，也就是后一天是无法持有股票的。此处需要对于每一天的状态进行进一步细分

动态规划数组的定义：定义数组 dp[n][4] ，其中

dp[i][0] 表示在 i 天持有股票所拥有的最大现金，
dp[i][1] 表示在第 i 天不持有股票并且不是冷冻期所拥有的最大现金数
dp[i][2] 表示在第 i 天卖出股票所拥有的最大现金数
dp[i][3] 表示在第 i 天为冷冻期所拥有的最大现金数

动态规划数组的推导：

对于 dp[i][0] 的推导：三种情形进行推导

前一天持有的情形，在第 i 天无需对股票进行操作 dp[i][0]=dp[i-1][0]
前一天不持有的情形：
- 前一天是不持有的并且不是冷冻期： dp[i][0]=dp[i-1][1]-prices[i]
- 前一天是冷冻期，在今天恰好可以买入： dp[i][0]=dp[i-1][3]-prices[i]

对于 dp[i][1] 的推导：两种情形

前一天不持有且不是冷冻期的情形： dp[i][1]=dp[i-1][1]
前一天是冷冻期的情形： dp[i][1]=dp[i-1][3]

对于 dp[i][2] 的推导：一种情形

前一天持有股票： dp[i][2]=dp[i-1][0]+prices[i]

对于 dp[i][3] 的推导：一种情形

前一天卖出股票： dp[i][3]=dp[i-1][2]

综上所述，总体的递推代码为：

dp[i][0]=max(dp[i-1][0],max(dp[i-1][1]-prices[i],dp[i-1][3]-prices[i]));
dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][3]);
dp[i][2]=dp[i-1][0]+prices[i];
dp[i][3]=dp[i-1][2];

动态规划数组的初始化：对于 dp[0][0] 在第一天买入 dp[0][0]=-prices[0] ，对于 dp[0][1] 是不持有的状态，那么就只需要在一开始就不买入： dp[0][1]=0 对于 dp[0][2] 也就是当天买入当天卖出 dp[0][2]=0 不存在第一天为冷冻期的情形，那么此时的现金数就一定是0
动态规划数组的遍历顺序：从前向后遍历

举例验证：

代码实现：使用滚动数组实现

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n=prices.size();
        if(n==1) return 0;
        vector<vector<int>> dp(2,vector<int>(4,0));
        dp[0][0]-=prices[0];
        for(int i=1;i<n;i++){
            dp[1][0]=max(dp[0][0],max(dp[0][1]-prices[i],dp[0][3]-prices[i]));
            dp[1][1]=max(dp[0][1],dp[0][3]);
            dp[1][2]=dp[0][0]+prices[i];
            dp[1][3]=dp[0][2];
            dp[0]=dp[1];
        }
        return max(dp[1][0],max(dp[1][1],max(dp[1][2],dp[1][3])));
    }
};

本题的重点在于对状态的细分，不能简单划分为持有或不持有两种，需要将当天卖出进行单独划分，根本的原因在于卖出后将会有一天的冷冻期。冷冻这一天是不允许对股票进行操作的，并且也是一种不持有股票的状态，因此状态2和状态4是能够合并的。

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